Pada artikel ini kita akan menengok
salah satu aplikasi matematika yang relatif baru dalam bidang ekonomi
mikro, yaitu “teori permainan” atau game theory. Nama yang
menarik, bukan? Teori ini awalnya dikembangkan para matematikawan,
namun memiliki banyak aplikasi dalam bidang ekonomi. Banyak film
menggambarkan situasi khas game theory, seperti Memento, Ransom, dan The Hunt for Red October. Memang, aplikasi game theory
tidak hanya ditemukan dalam ekonomi, tetapi juga manajemen, negosiasi
politik, psikologi, bahkan interaksi sosial manusia sehari-hari.
Sebagai teori yang berasal dari matematika, tentunya game theory
juga terkait erat dengan ilmu-ilmu nonsosial seperti ilmu komputer,
elektronika, hingga fisika. Sementara dari sudut pandang ilmu sosial,
dapat dikatakan bahwa game theory berusaha menjelaskan interaksi dan perilaku manusia (ilmu sosial) dari sisi rasional. Dalam ekonomi, game theory
menjelaskan perilaku bisnis, misalnya dalam persaingan marketing antara
dua atau beberapa perusahaan besar yang menguasai pasar (kartel).
Beberapa pakar game theory
terkenal yang mengembangkan teori ini antara lain John Nash, yang kisah
hidupnya dituangkan dalam sebuah film terkenal peraih Oscar berjudul A Beautiful Mind.
Bersama dengan Reinhard Selten dan John Harsanyi, Nash dianugerahi
hadiah Nobel Ekonomi tahun 1994. Selain itu Leonid Hurwicz, Eric Maskin
dan Roger Myerson bersama-sama meraih Nobel Ekonomi pada 2007 untuk tema
mechanism design theory yang sering juga disebut reversed game theory. Berikut ini kita bahas beberapa strategi interaksi dasar sebagai pengenalan game theory.
Strategi dominan
Pertama, kita belajar cara membaca apa yang disebut sebagai matriks imbalan (pay-off matrix).
Di dalam matriks ini, pemain A dapat memilih “atas” atau “bawah”, dan
imbalan yang didapatkannya tergantung dari pilihan pemain B yang bisa
memilih “kiri” atau “kanan”. Jika A memilih “atas” saat B memilih
“kanan”, imbalan yang mereka dapatkan adalah 0 untuk A dan 1 untuk B
(sel kuning).
Dalam strategi dominan, masing-masing
pemain memiliki 1 pilihan optimal yang tidak tergantung pada pilihan
pemain lain. Dalam hal ini, A akan selalu memilih “bawah” karena imbalan
2 (“bawah”-“kiri”) atau 1 (“bawah”-“kanan”) tidak pernah lebih buruk
daripada 1 (“atas”-“kiri”) atau 0 (“atas”-“kanan”). Demikian pula, bagi
B, memilih “kiri” tidak akan pernah lebih buruk daripada memilih
“kanan”, apapun pilihan A. Dengan demikian, “bawah” dan “kiri” adalah
strategi dominan bagi masing-masing pemain A dan B.
Pada situasi ketika terdapat strategi dominan untuk masing-masing pemain, equilibrium
atau titik keseimbangan akan selalu tercapai. Dalam kasus ini, A dengan
“bawah”, dan B dengan “kiri”, dengan imbalan 2 untuk A dan 1 untuk B
(sel hijau) merupakan keseimbangan strategi dominan (dominant strategy equilibrium).
Keseimbangan Nash (Nash Equilibrium)
Fenomena ini diformulasikan pada tahun
1951 oleh John Nash, matematikawan yang namanya disebut di awal tulisan.
Menurut Nash, strategi dominan tidak selalu ada, bahkan cenderung
jarang terjadi. Jika kita perhatikan matriks imbalan di bawah ini, tidak
ada strategi dominan dari masing-masing pemain.
Saat strategi dominan tidak terjadi,
keseimbangan masih dapat dicapai apabila masing-masing pemain bisa
memilih dengan optimal berdasarkan harapan terhadap tindakan yang
diambil oleh pemain lain. Pada situasi di atas, jika pemain A memilih
“atas”, pilihan optimal bagi B adalah “kiri”. Sebaliknya jika B memilih
“kiri”, pilihan optimal A adalah “atas”. Dengan demikian, “atas”-“kiri”
(sel kuning) juga merupakan posisi keseimbangan, yang disebut sebagai
keseimbangan Nash (Nash equilibrium). Jadi, keseimbangan Nash
adalah sepasang strategi ketika pilihan yang diambil A adalah pilihan
optimal terhadap kondisi pilihan yang diambil B, dan sebaliknya.
Masalahnya, jika asumsinya dibalik dari B
memilih “kanan” terlebih dahulu, ternyata bisa timbul posisi
keseimbangan Nash yang lainnya, yaitu “bawah”-“kanan” (sel hijau). Jadi,
keseimbangan Nash tidak selalu hanya satu keadaan. Selain itu, ada juga
situasi tanpa keseimbangan Nash seperti tergambar dalam matriks imbalan
berikut ini.
Jika A memilih “atas”, B akan memilih
“kiri”. Namun, jika B memilih “kiri”, A akan memilih “bawah”.
Selanjutnya, jika A memilih “bawah”, B akan memilih “kanan”, dan jika B
memilih “kanan”, A akan memilih “atas”. Dengan demikian keseimbangan
tidak dapat tercapai.
Dilema tahanan (Prisoner’s dilemma)
Masalah lain dalam keseimbangan Nash
adalah jika posisi keseimbangan yang tercapai membuat kedua belah
pihak mengambil pilihan yang bukan paling optimal. Kondisi ini terkenal dengan sebutan dilema tahanan (prisoner’s dilemma).
Kita bayangkan, ada 2 tahanan (tersangka) yang diselidiki secara
terpisah tanpa saling bisa menebak pilihan tindakan satu sama lain.
Masing-masing tahanan mempunyai pilihan untuk mengaku atau menyangkal,
dengan implikasi seperti tergambar pada matriks di bawah ini.
Jika A mengaku, dia bisa bebas dan B
akan menanggung hukuman 6 bulan. Jika kedua tahanan sama-sama mengaku,
keduanya akan ditahan selama 3 bulan. Jika keduanya menyangkal, mereka
akan ditahan 1 bulan.
A akan memilih untuk mengaku. Alasannya,
bila B menyangkal, dia akan bebas. Kalaupun B mengaku, dia masih akan
lebih baik, yakni ditahan 3 bulan daripada 6 bulan. Dengan demikian,
bukan saja fenomena keseimbangan Nash, melainkan keseimbangan strategi
dominan dapat terjadi di sini, yaitu saat kedua tahanan akan memilih
mengaku (tanpa mengetahui strategi tahanan lain). Pada akhirnya, kedua
tahanan berada pada kondisi “A mengaku” dan “B mengaku” (-3, -3) seperti
ditunjukkan sel kuning. Akan tetapi, keseimbangan ini ternyata bukan
kondisi terbaik karena kedua tahanan bisa mendapatkan hasil lebih baik
jika “A menyangkal” dan “B menyangkal” pula (-1, -1), ditunjukkan oleh
sel hijau. Tentu saja ini hanya bisa terjadi jika keduanya dapat
berkoordinasi.
Masih banyak variasi strategi dalam game theory beserta asumsi-asumsinya yang tidak sempat dijabarkan di sini. Aplikasi game theory
sesungguhnya sangat dekat dengan kehidupan sehari-hari. Apakah kalian
pernah menghadapi situasi semacam dilema tawanan ataupun interaksi
strategis lain? Mungkinkah ada cara pengambilan solusi yang belum
terpikirkan oleh para perumus game theory sampai sekarang?
